蒙特卡罗方法估算 π

功能

• 按「落在四分之一圆内的比例 × 4」估算 π
• 给出样本点数、圆内点数、π 估计值与相对误差
• 按 10 的幂列出收敛过程，一眼看出精度是怎么爬的
• 样本数可调，最大两百万个点（约一秒）
• 误差按相对值给出，可直接与「1/√n」量级对照
• 随机源取自 `crypto.getRandomValues`，且在数与数之间不重复取用
• 每次结果略有不同，点「重新估算」换一批
• 全部在本机计算，不请求任何接口

使用方法

1. 填样本点数（默认一百万个）
2. 读结果区的估计值与相对误差
3. 往下看收敛过程，能看到样本量每加一个数量级的变化
4. 点「重新估算」换一批随机点再跑一次

常见问题

为什么估计值总在 3.14 附近抖，不能像查表那样精确？

这是方法本身的性质，不是实现的缺陷。蒙特卡罗的误差按 1/√n 下降 —— 样本数加 100 倍，误差才降到十分之一。一百万个点的相对误差通常在 0.1% 上下，也就是约 3 位小数的稳定。想要精确的 π，用常数位数那个工具，它直接给出内置的一万位。

这个工具有什么用？

两个用处。其一，它是蒙特卡罗方法最小的可运行例子 —— 读一遍原理就能懂，而它演示的「用随机采样估计一个确定的量」正是金融定价、物理模拟、贝叶斯推断里那套方法的原型。其二，它让「精度爬得有多慢」这件事变得可见：表格里 1000 个点和 100 万个点的估计值差不了太多，而样本翻了 1000 倍，这种直觉光看公式建立不起来。

样本数选多少合适？

看你想看什么。只想看看收敛的样子，一万个点就够（瞬时出结果）。想看接近 3.14159 的估计，一百万个点大约需要一两百毫秒，误差通常落在 0.1% 以内。两百万是上限 —— 再多的收益是这个方法的性质决定的（√n 那一档），而等待时间会明显变长。