质数查询与质因数分解

功能

• 五种用法：判定、分解、第 N 个质数、区间列举、随机生成
• 米勒-拉宾判定：18 位数也是毫秒级，不用试除到根号
• 小于 3.3×10²⁴ 的判定是确定性的；超过会标出这是概率判定
• 质因数分解用 Pollard rho，两个大质数相乘也能拆开
• 判定失败时给出最小的质因数，方便核对
• 分解逐项列出质因数与指数（`2^3 × 3^2 × 5`），每项可单独复制
• 能识破卡迈克尔数（那些能骗过费马小定理的合数）
• 区间最多列 500 个，超出多少会说明
• 全部在本机计算，不依赖任何外部服务

使用方法

1. 选做什么：判定、分解、第 N 个、区间，还是随机生成
2. 填对应的数值（区间与随机模式要填范围）
3. 结果实时出现，点某一行的复制按钮取走结果

常见问题

「概率判定」是什么意思？会不会判错？

米勒-拉宾是概率算法，但如果固定一组基底，它在某个范围内是没有反例的 —— 数学上已证明：用前 12 个质数（2 到 37）作基底时，任何小于 3.3×10²⁴ 的合数都无法伪装成质数。所以这个范围内的结果是确定的。超过这个界时概率算法仍然极可靠（错误率低于 4⁻¹²），只是不再是数学证明，所以工具会标出来。

多大的数还能分解？

上限是 18 位。分解用的是试除小质数 + Pollard rho + 米勒-拉宾的组合，18 位（约 60 位二进制）的两个大质数之积通常在一秒内出结果。超过 18 位时会如实拒绝并说明原因，而不是转上几分钟 —— 一个不动的页面比一句「太大了」糟得多。

为什么第一个质数是 2，不是 1？

因为 1 按定义不是质数（质数要求恰好有两个正因数，而 1 只有一个）。所以「第 1 个质数」是 2，数列从 2, 3, 5, 7, 11… 开始。这个工具在判定 0 与 1 时也会明确说「不是质数」，且不会顺手报一句「最小的质因数是 1」—— 1 不是质数，那样的提示是错的。